Daugelis studentų, kurie mokosi pažengusiųjų matematikos aukštesniuose kursuose, tikriausiai susimąstė: kur praktikoje naudojamos diferencialinės lygtys (DE)? Paprastai šis klausimas nėra aptariamas paskaitose, o dėstytojai nedelsdami pereina prie valdymo teorijos sprendimo, nepaaiškindami studentams, kaip diferencialinės lygtys naudojamos realiame gyvenime. Mes bandysime užpildyti šią spragą.
Mes pradedame apibrėždami diferencialinę lygtį. Taigi, diferencialinė lygtis yra lygtis, susiejanti išvestinės funkcijos vertę su pačia funkcija, nepriklausomo kintamojo reikšmėmis ir kai kuriais skaičiais (parametrais).
Dažniausia sritis, kurioje taikomos diferencialinės lygtys, yra matematinis gamtos reiškinių aprašymas. Jie taip pat naudojami sprendžiant problemas, kai neįmanoma nustatyti tiesioginio ryšio tarp kai kurių vertybių, apibūdinančių procesą. Tokios užduotys kyla biologijoje, fizikoje ir ekonomikoje.
Biologijoje:
Pirmasis esminis matematinis modelis, apibūdinantis biologines bendruomenes, buvo Lotkos-Volterros modelis. Tai apibūdina dviejų sąveikaujančių rūšių populiaciją. Pirmasis iš jų, vadinamas plėšrūnais, miršta pagal įstatymą x '= –ax (a> 0) , nesant antrojo, o antrasis - aukoms, nesant plėšrūnų, neribotai dauginasi pagal Malthuso įstatymą. Šių dviejų rūšių sąveika modeliuojama taip. Aukos miršta tokiu greičiu, kuris lygus plėšrūnų ir aukų susidūrimų skaičiui, kuris, kaip manoma, šiame modelyje yra proporcingas abiejų populiacijų skaičiui, t. Y. Lygus dxy (d> 0). Todėl y '= by-dxy. Plėšrūnai dauginasi greičiu, proporcingu suvalgytų grobio skaičiui: x '= –ax + cxy (c> 0). Lygčių sistema
x '= –ax + cxy, (1)
y '= pagal - dxy, (2)
apibūdindamas tokią populiaciją, plėšrūnas yra grobis ir vadinamas „Trays - Volterra“ sistema (arba modeliu).
Fizikoje:
Antrasis Niutono dėsnis gali būti parašytas diferencialinės lygties forma
m ((d ^ 2) x) / (dt ^ 2) = F (x, t), čia m yra kūno masė, x yra jo koordinatė, F (x, t) - jėga, veikianti kūną su koordinatė x laiko momentu t. Jo sprendimas yra kūno trajektorija veikiant nurodytai jėgai.
